Zusätzliche Matheübungen für die 2. Klasse HAK

Inhalt:  Aussagenlogik  Mengenlehre   Termrechnen: (Klammer, Potenzen ,Binome und Bruchterme)  Gleichungen  Mischungsaufgaben  Leistungsaufgaben  Gleichungssysteme  
lin.Funktionen  Anwendungen von lin.Funktionen  lineare Optimierung
Die richtigen Lösungen werden in eckigen Klammern [..] angefügt, wenn mir solche geschickt werden!
Lösungen von Andi Dajeng,Cornelia Tschol

Aussagenlogik:

Was sind Tautologien?
Erstelle zu folgenden Verknüpfungen die Wahrheitstabelle :
A1) A oder (nicht B)
A2) (nicht A)äquivalent (A und B)
A3) (A und B) impliziert B
A4) (nicht A) und B
A5) (nicht B) impliziert (A oder B)
A6) (A impliziert B) äquivalent ((nicht A) oder B)
A7) (A oder B) äquivalent ((nicht A) und (nicht B))
A8) (nicht (A oder B)) impliziert (nicht B)

A B A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
w w w f w f w w f w
w f w w w f w w f w
f w f f w w w w f w
f f w f w f f w f w

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Mengenlehre:

M1)   Es sind die Mengen A={1,2,3,4}
                        B={2,4,6,8}
                        C={1,2,3}    gegeben.
     Man ermittle a) (A \ B) n C                 n := Durchschnitt
                  b) A \(B g C)
                  c) (A \ C) g B
                  d) (B v C)\ A                  v := Vereinigung
[a){1,3};b){1,3,4};c){4};d){6,8}]

M2) In einer Gruppe mit 42 Personen werden folgende Sportarten betrieben: Schwimmen, Radfahren und Eislaufen. 25 Personen betreiben Eislaufen;28 Personen Betreiben Radfahren; 28 Personen betreiben Schwimmen; 17 Personen betreiben Schwimmen und Radfahren; 16 Personen betreiben Eislaufen und Schwimmen; 15 Personen betreiben Eislaufen und Radfahren und 9 Personen betreiben alle drei Sportarten.
Wie viele Personen betreiben nur eine Sportart? Erstelle ein (Venn-)Mengendiagramm.
[Schwimmen: 4; Radfahren: 5; Eislaufen: 3; keine Sportart: 0]
M3) In einem Freizeitklub sind 60 Mitglieder. 40 davon sind Männer, 24 Mitglieder wohnen in Bludenz und 22 Mitglieder besitzen ein eigenes Auto. 15 Männer wohnen in Bludenz, 18 Autobesitzer sind Männer und 10 der Bludenzer Mitglieder besitzen ein Auto. 7 Autobesitzer sind Männer aus Bludenz.
     a) Wie viele Bludenzer Mitglieder sind weder Männer noch Autobesitzer?
     b) Wie viele Männer wohnen nicht in Bludenz und besitzen kein Auto?
     c) Wie viele Mitglieder sind weder Männer noch Autobesitzer noch Bludenzer?
     d) Wie viele Frauen sind nicht aus Bludenz?
[a)6; b)14; c)10; d)11]
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Termrechnung

Klammern

Berechne
K1) 4x – 3y – (6x – (-3x – (5y – 2x)) – (3x + 3y))[-5y ]
K2) 4x – 3y –(6x + (-2x – (5y – 2x)) – (3x - 3y))[x-y ]
K3) 5x + 3y – (4x – (3x – (5y + 2x)) – (2x + 3y))[4x+y ]
K4) 3x - 3y – (6x – (3x + 3y) – (-3x – (5y - 2x)))[-x-5y ]

Potenzen

P1) Die Erde hat einen Radius von r = 6,37.10^6 m, die Masse von m = 6.10^24 kg. Berechne daraus die Oberfläche, das Volumen und die mittlere Dichte der Erde!
( Hinweis: Kugeloberfläche = 4 .r².Pi; Kugelvolumen = 4/3 .r³.Pi; Dichte = Masse/Volumen )
[O = 5,099*10^14m²; V = 1,083*10^21m³; Dichte = 5542kg/m³]
P2) ((2a³b²)² : (a²b)²) : (a²b : 2 )[8b ]
P3) (2a²b³)² : (6a² b a)[(2ab^5)/3 ]
P4) (4a²b³)² : (2a b²)³[2a ]

Binome

B1) (9x² + 5)(2x² - 4) - (3x + 4)(6x - 5) =[18x^4-44x^2-9x ]
B2) (-2a²b + 5b²)² =[4a^4b^2-20a^2b^3+25b^4 ]
B3) (3x² - 5xy + 7y²).(4xy – 6y²) =[12x^3y-38x^2y^2+58xy^3-42y^4 ]
B4) (3x – 4y)² - (2x + y)(4x – 3y) = [x^2-22xy+19y^2]
B5) (2x – 3y)² - (2x – 3y)(2x + 3y) + 3y . (4x – 6y) =[0 ]
B6) (4x² - 3xy + 8y²) .(5y²-3xy) =[-12x^3y+29x^2y^2-39xy^3+40y^4 ]
B7) (8xy²-5x)² =[64x^2y^4-80x^2y^2+25x^2 ]
B8) (2x + 3) - [2x.(2x + 3)² + (2x - 3)(2x + 3)3x] - 12x =[-20x^3-24x^2-x+3 ]

Bruchterme

BR1) 2x /(2x + 3) - 2x /(2x - 3) =
BR2) (2x + 5y) /x + (2x³ - 5y³ + 3xy²) / (x³ - 2x²y + xy²) - (3x + 6y) / (x - y) = [0]
BR3) (1/a + 1/(a + b)) : (1/a - 1/(a + b)) =
BR4) (a/(a-1) + a) : (a - a/(a - 1)) =
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Gleichungen

Ermittle die Lösungsmenge für folgende Gleichung in Z!
G1) (9x + 5)² - (3x + 2)² = (12x + 3) ( 6x + 1) + 6 (x + 3) [0]
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen mit G= R
G2) (x - 1)/2 - (6x - 27)/3 = (2x + 5)/15 [5]
G3) (5x + 3)/(x² - 9) - 2/(x + 3) = 4/(x - 3) [{}]
G4) (2x - 5)/(x - 2) = 3 (x² - 7)/(x² - 4) - (x - 2)/(x + 2) [3]

Formelumformungen

F1) K = Ko (1 + n i)    i = ?
F2) s = (M a + m b)/(M + m)    M = ? [M=m(s-b)/(a-s)]
F3) a = (b t + f)/(g t - b)    b = ? [b=(agt-f)/(t+a)]
F4) Q = (4h - r)/(4h - 2r)    r = ? [r = 4h(Q-1)/(2Q-1)]
F5) y = k x + d    k = ?
F6) 1/a = 1/b - 1/c    c = ?
F7) R = A + A C /(B - C)    C = ? [C=(BR-AB)/R]
F8) E = m v² / 2    v = ?

Textaufgaben

T1) Es sind € 120 000,- unter 4 Personen A, B, C und D so zu verteilen, dass der Anteil von A zwei Drittel des Anteils des B beträgt, der Anteil des C doppelt so groß ist wie der des B und der Anteil der C vier Fünftel vom Anteil des D beträgt. Berechne die Verteilung (runde auf ganze €)!

T2) Vater Mutter und Tochter sind zusammen 108 Jahre alt. Die Mutter ist zweieindrittel mal so alt wie die Tochter, der Vater ist 30 Jahre älter als die Tochter. Wie alt sind sie?

T3) Auf einer 476 km langen Strecke fahren sich zwei Züge entgegen: A fährt mit 63 km/h um 9.40 Uhr ab, B mit 88 km/h um 8.50 Uhr. Wann und wo treffen sich die Züge?

T4) Zwei Züge fahren von demselben Ort in gleicher Richtung: A fährt mit 58 km/h um 7.42 Uhr ab, B mit 72 km/h um 9.13 Uhr. Wann und nach wieviel Kilometer Fahrt überholt der zweite Zug den ersten Zug?

T5) Zwei Züge fahren von demselben Ort in gleicher Richtung: A fährt durchschnittlich mit 58 km/h, B mit 72 km/h. Sie treffen sich um 15 Uhr. Man berechne die Abfahrtszeiten beider Züge, wenn A eine Stunde und 31 Min vor B abgefahren ist.

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Mischungsaufgaben
M1) Wieviel Gramm Gold vom Feingehalt 800 und wieviel Gramm Kupfer müssen legiert werden, um 300 g Gold vom Feingehalt 456 zu erhalten? [171/129]

M2) Wieviel Gramm Gold vom Feingehalt 750 muß man mit 200 Gramm Gold vom Feingehalt 333 mischen, um Gold vom Feingehalt 585 zu erhalten? [305,45]

M3) Es sollen 1800 l eines 36%igen Alkohols hergestellt werden. Es stehen 84%iger und 12%iger Alkohol zur Verfügung. Berechne, wieviel man von jeder dieser beiden Sorten nehmen muß! [600/1200]

M4) Mit wieviel Wasser muß man 190 Liter 92%igen Spiritus verdünnen, um 38%igen Spiritus zu erhalten? [270]

Leistungsaufgaben
L1) Ein Arbeiter A benötigt für eine Grabarbeit 30 Stunden. Ein anderer Arbeiter B schafft dieselbe Arbeit in 20 Stunden. In welcher Zeit können A und B diese Arbeit gemeinsam fertigbringen?

L2) Ein Arbeiter A benötigt für eine Grabarbeit 30 Stunden. Gemeinsam mit Arbeiter B macht er dieselbe Arbeit in 12 Stunden. Wie lange würde der Arbeiter B alleine für diese Arbeit benötigen?

L3) Ein Wasserspeicher faßt 160 hl Wasser: eine Röhre bringt in 3 Minuten 400 l, eine zweite in 6 Minuten 200 l, eine dritte in 9 Minuten 100 l. In wieviel Stunden ist der Speicher gefüllt?

L4) Vier Arbeiter verputzen eine Hausfassade. A würde die Fassade allein in 12 Tagen, B in 14, C in 18 und D in 30 Tagen verputzen .In welcher Zeit wird die Arbeit fertiggestellt, wenn alle vier gemeinsam arbeiten?
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Gleichungssysteme:
GL1)
             1,75 x + 1,25 y = 272
             2,2  x + 0,6  y = 272              [L={(104,72)}]
GL2) Löse mittels Gauß'schem Eliminationsverfahren:
Löse mittels graphischem Verfahren:
Löse mittels Matrixverfahren:
           4x + 3y = 67
           5x + 4y = 87                 [L= {(7,13)}]

           3x + 2y = 6
           6x + 4y = 8                  [L={}]

           3x +  y = 6
           6x + 2y = 12                 [L={(x,y)|3x+y=6}]

GL3) Ein Kunde hat 15 Fl. Rotwein und 25 Fl. Weißwein um € 150,50 gekauft. Ein anderes mal bezahlt er für 18 Fl. Weißwein und für 22 Fl. Rotwein € 155,40. Berechne die Weinpreise!

GL4)
              4x - 3y + 2z = -10
              2x + 9y - 4z =  12
             -6x -15y + 8z = - 8

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lineare Funktionen:

LF1) Berechne die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt R(4|7) und S(-6|-3) geht und zeige, ob der Punkt T(-1|2) auf der Geraden g liegt oder nicht!
[y=k*x+d für R: 7=k*4+d und S: -3=k*(-6)+d daraus ergibt sich: k=1 und d=3 also y=1x+3; da sich beim Einsetzen der Koordinaten (-1|2) in die Geradengleichung eine wahre Aussage ergibt, liegt T auf der Geraden]

LF2) Berechne die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt R(3|3) und S(-5|-8) geht.
[y=1,375x-1,125]

LF3) Bestimme jene lineare Funktion, die durch den Punkt (3|4) verläuft und zur Geraden mit der Funktionsgleichung y=2x-4 parallel verläuft!
[y=2x-2]

LF4) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(14|16), B(7|7);
Die Gerade h geht durch die Punkte C(14|-5), D(7|0). Zeichne die Geraden und berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden.
[S(3,5|2,5)]

LF5) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(4|-2),B(9|7);
Die Gerade h geht durch den Punkte C(1|9) und besitzt die Steigung k = -1,2.
  a) Stelle die Gleichung der Geraden g in allgemeiner Form dar!
  b).Berechne die Hauptform der Geradengleichung für h und berechne deren Achsenabschnitte!
  c).Bestimme die Geradengleichung einer zu g parallelen Geraden durch den Punkt P(3|2)!
  d) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h!
  e) Zeichne die Geraden g und h in ein Koordinatensystem!
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Anwendungen von linearen Funktionen

ALF1) Bei einem Verbrauch von 186 kWh beträgt die Stromrechnung € 38,33; bei einem Verbrauch von 98 kWh beträgt die Stromrechnung € 32,57.
Wie groß ist die Grundgebühr und der Preis pro kWh? {0.065;26,16}

ALF2) Die neuen Tarife der Telecom 2002 (Festnetz-Mobilnetz A1 pro Minute)
                                                                          Freizeit Geschäftszeit
Minimumtarif:  Grundgebühr Analog: 14,38 € Grundgebühr ISDN: 23,98 €  0,1820 €  0,2160 €
Standardtarif: Grundgebühr Analog: 17,44 € Grundgebühr ISDN: 28,76 €  0,1720 €  0,2040 €

Ab welcher Gesprächsdauer ist der Standardtarif günstiger als der Minimumtarif? (Hinweis: mehrere Fälle möglich)

ALF3) Die Anschaffungskosten einer Anlage beträgt € 36.336,42. Im zwölften Jahr beträgt der Buchwert € 20.348,39. Welche Nutzungsdauer wurde angenommen?

ALF4) Ein Betrieb hat monatliche fixe Kosten von 3488,30. Bei einem monatlichen Absatz von 36000 Mengeneinheiten (ME) ergibt sich bei einem Verkaufspreis von € 0,87 ein Gesamtgewinn von € 6.976,60 .
   a) Wie hoch sind die proportionalen Kosten k?
   b) Wie hoch sind die Durchschnittskosten (Stückkosten) bei einer Produktion von 36000 ME?
   c) Wie hoch wäre der Gewinn bei einem monatlichen Absatz von 72000 ME?

ALF5) Für die Produktion einer Ware sind folgende Daten über die Angebots- und die Nachfragefunktion bekannt:
Angebot: bei einem Preis von 250 Geldeinheiten (GE) werden 300 Stück angeboten; bei einem Preis von 400 GE werden 600 Stück angeboten.
Nachfrage: beim Preis von 180 GE werden 250 Stück verkauft; beim Preis von 120 GE werden 400 Stück verkauft.
  a) Stelle die Nachfrage- und die Angebotsfunktion graphisch dar!
  b) Bestimme die Nachfragefunktion und die Angebotsfunktion rechnerisch!
  c) Bei welchem Preis liegt das Marktgleichgewicht?
  d) Berechne den Höchstpreis und die Sättigungsmenge
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lineare Optimierung

LO1) Löse folgendes Optimierungsproblem: (d.h. berechne das optimale Z)
Zielfunktion: Z = 5x + 2y soll maximiert werden
Bedingungen:           2x + 4y < 18
                      5x +  y  < 10
                       4x + 2y < 10
                             x > 0
                             y > 0


LO2) Ein Betrieb erzeugt 2 Artikel in 3 Abteilungen. Die folgende Tabelle enthält die Fertigungszeiten, die von den Artikeln in den einzelnen Abteilungen benötigt werden sowie die Abteilungskapazitäten in Wochenstunden.
Berechne das Produktionsprogramm mit der maximalen Stückzahl!
       Abteilung     Fertigungszeiten   Kapazität
                         A      B
           1             2      4          1800
           2             5      1          1000
           3             4      2          1000
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