Übungsaufgaben für fleißige Viertklässler

Inhalt:  Modellrechnungen;  Statistik;  Trigonometrie;  Grenzwert;  Differentialrechnung; 
Die richtigen Lösungen werden in eckigen Klammern [..] angefügt
Lösungen von Natalie Bertsch

Wiederholungsaufgaben zu Modellrechnungen:

W01.   Erstelle einen Tilgungsplan für eine 20 jährige nachschüssige Annuitätsschuld mit S = 300.000,-- und i = 5%.
Berechne die zehnte Zeile des Tilgungsplanes direkt.

W02.   Erstelle ein einfaches Modell für Wölfe und Hasen mit folgenden Bedingungen:
Wölfe zu Beginn: 20 (Anfangspopulation);Hasen zu Beginn: 100; Wachstumsrate der Hasenpopulation ohne Wölfe: 0,04; Sterberate der Hasenpopulation mit Wölfen: 0,001; Wachstumsrate der Wolfpopulation mit Hasen: 0,003; und Sterberate der Wolfpopulation ohne Hasen: 0,4
Wie groß sind die Populationen nach 10 Perioden?

W03.   Erstelle ein Modell für den radioaktiven Zerfall und berechne damit für Jod 131 (Halbwertszeit = 8d)
    a) wie viel Prozent nach 32 Tagen zerfallen sind.
    b) in wie viel Tagen 40% zerfallen sind.

W04.   Erstelle ein Modell für logistisches Wachstum einer Population mit Startmenge 100 und Kapazitätsgrenze K = 200

W05.   Eine Pflanze wächst näherungsweise logistisch.
Zu Beginn der Beobachtungszeit ist die Höhe 20 cm. Nach 20 Tagen wird eine Höhe von 75 cm festgestellt. Man erwartet schlussendlich eine Höhe von 2 Metern.
Erstelle eine Funktion, die das Wachstum dieser Pflanze beschreibt! Stelle die Funktion im wesentlichen Bereich dar!
Wie hoch ist die Planze nach 30 Tagen? Nach welcher Zeit wird eine Höhe über 150 cm erwartet?
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beschreibende Statistik:


S01.   Beschreibe die Grundbegriffe: Statistik allgemein, Grundgesamtheit, Merkmale

S02.   Welche grafischen Darstellungsmöglichkeiten werden wo angewandt?

S03.   Beschreibe Fehlermöglichkeiten und Grenzen der Statistik.

S04.   Welche charakteristischen Maßzahlen werden für welche Merkmale in der Statistik verwendet?

S05.   Bestimme für folgende Urliste alle Mittelwerte und Streuwerte und fertige ein Box-plott:
2,4,5,3,8,8,6,4,4,5,2,1,8,8,5,5,4,4,4,3,7,5,6,4,2,8,6,7,9,5
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ebene Trigonometrie:


G01.   Welche Winkelmaße gibt es und wie werden sie ineinander umgerechnet?

G02.   Nenne zwei Sätze über das rechtwinklige Dreieck!
Gib 3 unabhängige rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seiten an (Diophant).

G03.   Was besagt der Strahlensatz?

G04.   rechtwinkliges Dreieck: a = 5 cm, c = 8 cm; berechne die restlichen Größen
. [Alpha = 38,68°; b = 6,25]

G05.   rechtwinkliges Dreieck: a = 4 cm, b = 8 cm; berechne die restlichen Größen.
[Alpha = 26,57°; c = 8,94]

G06.   rechtwinkliges Dreieck: b = 50 cm, Alpha = 38 Grad; berechne die restlichen Größen.
[c = 63,45; a = 39,06]

G07.   rechtwinkliges Dreieck: c = 12 cm, Beta = 72 Grad; berechne die restlichen Größen.
[a = 3,71; b = 11,41]

G08.   Berechne die Sichtweite auf der Erdoberfläche (r = 6370 km) in Abhängigkeit der Höhe.

G09.   Die Rampensteigung für Rollstuhlfahrer sollen unter 6% liegen. Wie lange muss die Rampe mindestens sein, wenn ein Höhenunterschied von 80 cm überwunden werden soll?

G09.   berechne die fehlenden Größen für folgende allgemeine Dreiecke:
        a        45                       114      4          15       40
        b                      34                  6          22
        c                                 84,5                26
        Alpha    38,5°
        Beta     65,2°         56,55°     25,7°                        82
        Gamma                  47,18°              74
        Fläche                                                         380©PR
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G10.   Trapez: b = 40, c = 38, a= 18°55'29", ß = 36°52'12" Berechne a, d, e und die Fläche des Trapezes!

G11.   Um eine unzugängliche Strecke DC zu bestimmen, wurden folgende Messungen gemacht:
              Standlinie AB = 526 m,    (DAB)= 70°27'30''
                                        (ABD)= 42°18'20''
                                        (CBD)= 73°26'50''
                                        (CAD)= 31°50'40''


G12.   Von einem viereckigen Grundstück ABCD soll aus folgenden Messgrößen die Fläche berechnet werden:
AB = 32m, BC = 55m, CD = 48m, DA = 35m, Winkel(DAB) = 102°20'48''
[BD=52,23;DBC=53,108°,A=547,05+1148,77=1695,77]

G13.   Ein vertikaler 100m hoher Mast steht auf der Spitze eines Berges. Von einem Beobachtungspunkt des Tales aus wird der Fuß des Mastes unter einem Höhenwinkel von a = 14°29' und die Spitze des Mastes unter einem Höhenwinkel von ß = 15°44' gesehen.
In welcher relativen Höhe über dem Beobachter befindet sich die Spitze des Berges?

G14.   Zur Spitze eines Berges werden von einer horizontalen Standlinie AB = 250 m die Höhenwinkel a = 44°13' und b = 43°39' gemessen. Welche relative Höhe hat der Berg bezüglich des Beobachtungsniveaus?
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Grenzwert von Folgen

GW01.   Beweise, dass die Folge <a n> = <(8n - 6)/(2 + 5n)> monoton wachsend ist!

GW02.   Berechne den Grenzwert der Folgen, falls er existiert
<a n> = <(8n - 4)/(3 - 5n)>
<a n> = <(n² - 4n)/(3n + 8)>
<a n> = <(32n + 18)/(2n² + 3)>
<a n> = <(6n² + 3n)/(2n - 3n²)>

GW03.   Ermittle den Grenzwert der Folge <a n> = <(4n - 4)/(3 + 5n)> und gib an, ab welchem Glied alle weiteren Glieder der Folge innerhalb der Epsilonumgebung liegen (Epsilon = 0,001)
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Differentialrechnung:

DR01.   Berechne die mittlere Steigung der Funktion y = -2 x² + 3 x + 1 im Intervall x = 0 und x = 3 ! Welchem Steigungswinkel entspricht dies?

DR02.   Berechne die momentane Steigung der Funktion y = 2/(2x + 3) an der Stelle x = 2 als Grenzübergang des Differenzenquotienten.
(bilde dazu zuerst die mittlere Steigung in den Grenzen x = 2 und x = 3; berechne nun weitere mittlere Steigungen, wobei sich die zweite Grenze der ersten nähert 3 --> 2 )

DR03.   Berechne
        die erste Ableitung
        den Differenzenquotient
        die Tangentensteigung
        y´
von y = x³ + 2 x - 1/x² allgemein und an der Stelle x = 2

DR04.   Nenne die Ableitungsregeln und gib zu jeder Regel ein selbstgewähltes Beispiel an!
DR05.   Diskutiere die Funktion f(x) = 1,2x³ - 1,8x² - 1,5x + 3
       Berechne dazu die Nullstellen, die Extremwerte, den Wendepunkt und die Wendetangente und skizziere den Graph der Funktion!
DR06.    Diskutiere die Funktion f(x) = (2 - x)*eˆ(0,5x)
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