Aufgaben zur Wiederholung


Themen:
lineare Optimierung,   Wachstum und Zerfall,   Finanzmathematik,   Trigonometrie,   Differential und Integralrechunung,   Kosten - Preistheorie,   Statistik,  Kombiantorik,  Wahrscheinlichkeitsrechnung, 

lineare Optimierung

L1) Zwei Artikel A und B werden in vier Abteilungen F1, F2, F3 und F4 hergestellt. Die Fertigungszeiten, die für die Artikel in den einzelnen Abteilungen benötigt werden, sind aus der folgenden Tabelle zu entnehmen.
                 Abteilung F1          F2         F3          F4
       Artikel A            4           0          5           6
       Artikel B            0           3          4           3

jeweils Zeiteinheiten pro Mengeneinheiten Für die Abteilung F1 steht eine maximale Kapazität von 80, für F2 von 120, für F3 von 200 und für F4 von 180 Zeiteinheiten zur Verfügung. Der Marktpreis für Artikel A beträgt 40, der für Artikel B 60 Geldeinheiten pro Mengeneinheit.
a) Wie groß ist der maximale Erlös und wie groß sind die Restkapazitäten? b) Wie lautet das Produktionsprogramm für maximale Stückanzahl (unabhängig vom Marktpreis)?
Lösung: a) 8 Artikel A und 40 Artikel B; max. Erlös = 2720;
Restkapazitäten: F1: 48; F2 und F3: 0; F4: 12
b) max. Stückzahl wird in der selben Ecke (8,40) erreicht (48 Stück)


L2) Ein Kranker soll höchstens 50g Fett, höchstens 200g Kohlenhydrate,jedoch mindestens 135g Eiweiß zu sich nehmen. Es stehen zwei Grundnahrungsmittel A und B zur Verfügung. A enthält 10% Fett, 25% Kohlenhydrate, 20% Eiweiß und kostet € 20,- pro kg; B enthält 5% Fett, 40% Kohlenhydrate, 45% Eiweiß und kostet € 60,- pro kg. Bei welcher Zusammenstellung von A und B werden die Verpflegungskosten minimal?
Lösung: minimale Kosten = 15 Geldeinheiten bei 0,45 kg A und 0,1 kg B

L3) Aus 2 Materialien I und II soll eine Schmelze hergestellt werden, die mindestens 70 kg Cu, 50 kg Zn und 120 kg Cr enthalten soll. Material I enthält 20% Cu, 10% Zn, 50% Cr und kostet € 90,- je kg während Material II 15% Cu, 30% Zn und 20% Cr enthält und € 75,- kostet. Welche Mengen sind zu mischen, um unter den gegebenen Bedingungen die günstigste Schmelze herzustellen und wie groß sind deren Kosten?
Lösung: minimale Kosten = 32.000,- bei 300 kg Material I und 66,67 kg II

L4) Löse folgendes Optimierungsproblem: Zielfunktion: Z = 5x + 2y soll maximiert werden!
Bedingungen:
                  2x + 4y <= 18
                  5x +  y <= 10
                  4x + 2y <= 10
                        x >= 0
                        y >= 0


Lösung: x = 1,67 y = 1,67 und Z = 11,69

Wachstum und Zerfall

W1) Ein Fischbestand wird bewirtschaftet. Zu Beginn liegt eine Population von 200 Fischen vor. Pro Jahr vermehrt sich der Bestand von selbst um 20%. Am Ende des Jahres werden 30% der Fische gefangen und sodann 56 Stück neu eingesetzt. Welche Population und welcher Ernteertrag stellt sich auf Dauer ein? [350]

W2) Die Bevölkerung eines Gebietes betrug im Jahre 2000 ca. 350 Tausend Einwohnern. Im Jahr 2005 waren es ca. 390 Tausend.
  a) Stelle ein exponentielles Wachstumsmodell auf und berechne das jährliche Wachstum in Prozent.[ca 2,2% pro Jahr; 350*1,02188^t]
  b) Auf längere Sicht verwendet man das Modell für logistisches Wachstum mit einem Maximalwert von 500 Tausend Einwohnern.      Erstelle die Funktion für das logistische Wachstum! [500/(1+0,42857*0,91973^t)]
  c) Stelle beide Modelle in der selben Grafik dar!
  d) Berechne für beide Modelle die Bevölkerung des Staates im Jahr 2040. [831,84 492,57]
  e) Wann wird nach den einzelnen Modellen die Bevölkerung des Gebietes 450 Tausend erreichen? [11,6 Jahre, 16,1 Jahre]

W3) In einem Einzugsgebiet von 400 potentiellen Kunden verlaufe der Verkauf eines Luxusgutes annähernd logistisch. Jeder Kunde kauft nur ein Stück. Zu Beginn der Beobachtungszeit sind 40 Geräte verkauft. Nach 20 Tagen ist die Anzahl der verkauften Geräte bereits 150 Stück.
  a) Erstelle eine Funktion, die den zeitlichen Verkaufsverlauf beschreibt! [V(t)=400/(1+9*0,919137^t)]
  b) Stelle die Funktion im wesentlichen Bereich dar!
  c) Nach welcher Zeit wird ein Verkauf von 300 Stück erwartet? [39 T]
  d) Zu welcher Zeit ist mit dem stärkssten Verkauf zu rechnen? [26 T]

W4) Vergleich von Wachstumsmodellen: Anzahl zu Beginn: 30 Stück ; nach 10 Tagen: 50 Stück.
Berechne die Population nach 25 Tagen bei
    a) linearem Wachstum!     b) exponentiellem Wachstum!     c) logistischem Wachstum mit einer Kapazitätsgrenze von 200 Stück!

W5) Jod 131 zerfällt radioaktiv mit einer Halbwertszeit von 8 Tagen.
    Wie viel Gramm sind nach 30 Tagen noch vorhanden, wenn am Anfang 20 g vorlagen? [1,49 g]
    In welcher Zeit zerfallen 99% des Stoffes? 53,2 T]

Finanzmathematik

f1) Wie lange dauert es, bis ein Kapital von € 4.320,- bei 5% auf € 4.822,34 anwächst?
Lösung: bei Zinseszins in 2 Jahren 3 Monate 2 Tage; bei einfacher Verzinsung 2 Jahre 3 Monate und 27 Tage

f2) Bei welchem dekursiven Jahreszinssatz ergibt sich eine Verdoppelung des Kapitals durch Zinsesverzinsung in 20 Jahren?
Lösung: i = 3,53%

f3) Welches Kapital wächst in 4 Jahren und 3 Monaten bei i2 = 3% auf € 100.000,--?
Lösung: K0 = 77.782,80

f4) In wie viel Monaten wächst ein
Kapital von € 320,-- bei einem relativen dekursiven Quartalszinssatz von i4 = 2% auf € 350,-?
Lösung: n = 1 Jahr 1 Monat 18 Tage = 13 Monate 18 Tage

f5) Für eine Realität bietet Herr Bertsch € 600.000,-- sofort, € 200.000,-- nach zwei Jahren und € 200.000,-- nach 4 Jahren. Frau Kurz würde € 400.000,-- in einem Jahr und € 600.000,-- in drei Jahren zahlen. Frau Stark bietet eine vorschüssige Jahresrente durch 5 Jahre mit einer Rate von € 200.000,--. Welches Angebot ist bei i = 5% für den Verkäufer Rann das Beste (Berechne dazu die Barwerte aller Angebote)?
Lösung: Barwert Bertsch = 945.946,39; Barwert Kurz = 899.254,94; Barwert Stark = 909.190,10; Für Verkäufer Rann wäre deshalb das Angebot von Bertsch am besten.

f6) Berechne den Endwert und den Barwert einer vorschüssigen ( /nachschüssigen) Quartalsrente mit i = 5%, einer Laufzeit von 5 Jahren und einer Rate von € 3.000,--!
Lösung: Endwert: 68.367,05 (v.s.)67.538,20 (n.s.) Barwert: 53.567,37 (v.s.) 52.917,95 (n.s.)

f7) Statt einer sofort beginnenden nachschüssigen Quartalsrente mit R = 2.000 durch drei Jahre will Sabine eine in einem Jahr beginnenden vorschüssigen Semesterrente durch vier Jahre (also 8 Raten) . Wie hoch ist die Semesterrate bei i = 5%?
Lösung: R = 3167,13

f8) Statt einer nachschüssigen Jahresrente von € 500,- durch 8 Jahre will Christof sofort € 2.000,- und vom Beginn des 6. Jahres an eine vorschüssige Jahresrente von € 200,- . Wie oft kann er diese Rente beziehen? (i = 4%)
Lösung: Er kann diese Rate 9 mal, also 9 Jahre lang beziehen. Danach bekommt er noch eine Restzahlung von 158,55.

f9) Sabine hat Anspruch auf eine sofort beginnende sechsmalige vorschüssige Semesterrente von je € 20.000,- bei i2 = 4%. Sie will dafür sofort einen Vorschuß von € 50.000,- und eine sofort beginnende nachschüssige Monatsrente durch drei Jahre. Wie hoch ist diese Monatsrate?
Lösung: R = 1846,44
f10) Herr Maier hat Anspruch auf eine 10-jährige, vorschüssige Quartalsrente von € 1.500,--. Er vereinbart jedoch, dass ein Betrag von € 20.000,-- sofort, und der Rest in nachschüssigen Semesterraten zu € 2.000,-- zu zahlen ist. ( i = 5%)
a) Wie oft kann er die volle Semesterrate beziehen? (
b) Wie groß ist die Restzahlung, wenn sie mit der letzten Rate bezahlt wird?
Lösung: a) 17 mal b) Restzahlung = 418.27

f11) Frau Aicher verkauft ihre Single-Wohnung. Es liegen 2 Angebote vor: ( i = 6 %)
Angebot A: Eine sofort beginnende nachschüssige Quartalsrente durch 6 Jahre: R = € 6.050,--
Angebot B: € 70.000,-- in 7 Monaten und € 71.000,-- in 5 Jahren.
a) Vergleiche beide Angebote mit den Barwerten.
b) Wann müsste B die € 70.000,-- bezahlen, um dem Angebot A gleichwertig zu sein?
c) Wie hoch müsste man die Quartalsrate von A ansetzen, um dem ursprünglichen Angebot von B gleichwertig zu sein?
Lösung: a) (A: € 121.644,23; B: € 120.715,99) b) in 4 Monaten 6 Tagen c) R = 6.003,83

f12) Eine Schuld von € 30.000,- soll durch eine nachschüssige Annuität in 6 Jahren mit i = 8% getilgt werden. Nach der zweiten Zahlung wird i auf 10% geändert. Nach der dritten Zahlung wird die Dauer um ein Jahr verkürzt. Erstelle einen vollständigen Tilgungsplan.
Lösung: Annuität_1 = 6.489,46; Annuität_3 = 6.780,70; Annuität_4 = 9716,08; Restschuld nach 2 Jahren: 21.493,92

f13)Aus einem Tilgungsplan einer nachschüssigen Annuitätsschuld:
               Z         T         A         K
     a)13     2593,13   5431,13   8024,24   46431,35
     b) 6      616,93   1010,52   1627,45    5158,81
Berechne die Gesamtschuld, die Laufzeit und den Zinssatz!
Lösung: a) Gesamtschuld = 10.000,-; i = 5%; n = 20 b) Gesamtschuld = 100.000,-; i= 10 %, n = 10.

f14) Ein Industriebetrieb erwägt eine Maschinenanschaffung. Es liegen folgende 2 Objekte vor.
                                             I                   II
   Kapitaleinsatz €                         2 MIO               1,4 MIO
     Aufstellkosten                         80.000             30.000
           Ertrag im 1. Jahr               600.000            520.000
                     2. Jahr               600.000            650.000
                     3. Jahr               700.000            500.000
                     4. Jahr               550.000
Am Ende der Laufzeit beträgt der Wiederverkaufswert des Objektes I € 120.000, der Restwert des Objektes II € 40.000.
Entscheide mittels Annuitätenmethode und internem Zinssatz, welches Investitionsobjekt bei i = 8% vorzuziehen ist!
Berechne den modifizierten internen Zinssatz, wenn die Erträge mit i = 5% wiederveranlagt werden können!

Lösung: Investition I - Kapitalwert = 38.111,-; Annuität = 11.506,63; interner Zinssatz = 8,8%
Investition II - Kapitalwert = 37.421; Annuität = 14.520,65; Interner Zinssatz = 9,43%


Trigonometrie

t1) Von einem viereckigen Grundstück ABCD soll aus folgenden Messgrößen die Fläche berechnet werden:
AB = 32 m, BC = 55 m, DA = 48 m
Winkel(DAB) = 112°20'48΄΄ Winkel(ABC) = 105°55'10΄΄
Lösung: DB = 67.05 m, beta' = 64.46, F1 = 710.32 m², F2 = 1663.75 m², F = 2374.07 m²

t2) Um eine unzugängliche Strecke DC zu bestimmen, wurden folgende Messungen gemacht:
Standlinie AB = 526 m,
Winkel: (DAB) = 70°27'30΄΄ (ABD) = 42°18'20΄΄ (CBD) = 73°26'50΄΄ (CAD) = 31°50'40΄΄

t3) Trapez: a = 155, d = 68, a = 61°55'39", ß = 79°36'40" Berechne b, c, e und die Fläche des Trapezes!

t4) Von eiem Deltoid sei: a = 16, alpha = 138°43' und e = 35 Berechne b, ß, f und die Fläche!

Differential und Integralrechunung

d1) Kurvendiskussion:
Berechne die Nullstellen und die Extremwerte der Funktion und stelle den wesentlichen Teil der Funktion grafisch dar!

d2) y = (x²+5x+6)/(x-1)
Berechne Nullstellen, Extremwerte, Asymptoten und stelle die Funktion graphisch dar.
Lösung: N(-2|0)N(-3|0)E(4,46| )E(-2,46| ); Asymptoten: y = x + 6; x = 1

d3) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P(3,-19) ein relatives Extremum und in W(1,-3) den Wendepunkt. Bestimme die Funktionsgleichung! Y = x³ - 3x² - 9x + 8

d4) Aus Blech soll eine zylinderförmige Dose mit einem Volumen von 2 Litern hergestellt werden. Wie muß man die Abmessungen r und h der Dose wählen, damit der Verbrauch an Blech minimal ist?

d5)
     Von einer Trafostation T soll eine    | W
     Leitung zum Werk W gelegt werden.     |
     Die Baukosten der Leitung an der      6 km
     Landstraίe sind zwei mal so niedrig   |
     wie wenn querfeldein verlegt wird.    ----------- 8 km --------- T
     Wie ist die Leitung zu verlegen, um minimale Baukosten zu erzielen?
     


d6) Berechne die Fläche, die von den beiden Funktionen f und g begrenzt wird:
                    f: y = -x² + 3x + 5
                    g: y =  x + 2

                    f: y = x² - 3
                    g: y = -2x² + 4x + 4


d7) Ein Trinkgefäß entsteht durch Rotation der Funktion y = 1,8*Wurzel(x+1) um die x-Achse in den Grenzen 1 und 5 cm. Bestimme das Fassungsvermögen des Gefäßes! Wie hoch steht der Flüssigkeitsspiegel, wenn ein Achtel Liter (= 125 cm³) Wasser eingefüllt ist?

d8) Ein Rotationskörper entstehe durch die Funktion bei Drehung um die y-Achse in den Grenzen y1 = 1 und y2 = 4. Berechne das Volumen!

d9) a) Die Funktionsvorschrift einer Kurve lautet: y = (3x² + 4x - 4) / x²
Bestimme die Nullstellen, Extremstellen , Wendepunkte, Pole und Asymptoten dieser Funktion.
Zeichne den Graf der Funktion in ein Koordinatensystem im Intervall -5 < x < 5.
b) Ermittle das Volumen des Körpers, der durch Drehung des von den Kurven
   x² - y² = 16 und y² = 6x
eingeschlossenen Flächenstücks um die x-Achse entsteht!(Vx = 320/3 pi)

d10) Gegeben ist die rationale Funktion y = (x² - 3x - 4) / (2x + 5)
a) Bestimme die Nullstellen, Extremwerte, Pole und Asymptoten.
Diese Funktion wird mit der Geraden y = - 0,8 x + 4,4 geschnitten.
b) Zeichne beide Funktionen in ein Koordinatensystem im Intervall [ -7,7]
c) Bestimme den Inhalt, der von beiden Kurven begrenzen Fläche. ( 23,2 AE)

d11) Gegeben sind die reellen Funktionen f(x) und g(x):
     f(x) = 2x² + 1
     g(x) = 5x – 1
Diese beiden Kurven schließen eine endliche Fläche ein.
Welches Volumen entsteht, wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert?
g(x) rotiert um die x-Achse zwischen den Grenzen a = 0,5 cm und b = 2 cm.
Berechne den Inhalt des entstehenden Bechers!
Wie hoch steht die Flüssigkeit im Becher, wenn man 100cm³ Wasser hineinfüllt?

d12) Der Hohlraum eines Gefäßes entsteht durch Rotation der Funktion
  f(x) = k *Qadratwurzel(x + 18)
um die x-Achse in den Grenzen x1 = 0 und x2 = 8 cm .
Wähle k so, dass der obere Rand des Gefäßes den Radius r = 7 cm hat.
a) Berechne das Volumen dieses Gefäßes!
b) In dieses Gefäß wird 0,5 l Wasser gegossen. Wie hoch steht die Flüssigkeit im Gefäß?

Kosten - Preistheorie

k1) A) Durch eine Kostenanalyse stellt ein Betrieb folgende Abhängigkeit zwischen den Grenzkosten K΄(x) und der erzeugten Menge x fest:
           Menge x         5        9        14        18
  Grenzkosten K΄(x)        38,7    36,3      46,8      66
Erstelle aus diesen Daten mittels Regression eine quadratische Grenzkostenfunktion!

k2) Die Grenzkosten eines Produktes betragen K'(x) = 0,3x² - 4,8x + 50,2 , die Fixkosten sind 30 GE. Beim Verkauf kann ein Preis von 50 GE pro ME erzielt werden.
i) Bestimme die Gesamtkostenfunktion, die Erlösfunktion und die Erfolgsfunktion!
ii) Bestimme das Betriebsoptimum und das Betriebsminimum, sowie die langfristige und kurzfristige Preisuntergrenze!
iii) Berechne die Gewinnschwelle, die Gewinngrenze und den maximalen Gewinn!
iv) Stelle die Kostenfunktion und die Erlösfunktion gemeinsam in einem Diagramm dar!

k3) Gegeben ist die Grenzkostenfunktion
K'(x) = 0,075x² - 1,64x + 12,52; Fixkosten KF = 91,85 GE
Nachfragefunktion: p = -x + 35
Ermittle a) das Betriebsminimum und die kurzfristige Preisuntergrenze
b) das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze
c) die Gewinnschwelle sowie die Gewinngrenze
d) den maximal erzielbaren Gewinn.

k4) Die Kostenfunktion für die Erzeugung eines Produktes laute
K(x) = 0,001x³ - 0,25x² + 25x + 1000
Für Preis und Menge ergibt sich der Zusammenhang p = 50 - 0,001x²
a) Bestimme rechnerisch das Betriebsoptimum und das Betriebs- minimum, sowie die langfristige und kurzfristige Preisunter- grenze.
b) Berechne den Cournot'schen Punkt.
c) Stelle die Kosten- und Erlösfunktion graphisch dar und be- stimme daraus die Gewinngrenzen.

k5) Von den Produktionskosten, die sich in einer Periode bei der Erzeugung eines Artikels ergeben, ist bekannt:
Der Fixkostenanteil ist 300 GE. Werden 10 ME produziert, so haben die Gesamtkosten K(x) den Wert 800 GE.
Die Kostenkehre wird bei x = 10 erreicht. Mit dieser Produktionsmenge betragen die Grenzkosten 40 GE/ME.
a) Ermittle die Kostenfunktion 3. Grades für diesen Produktionsbetrieb.
b) Gegeben sei die Kostenfunktion: K(x) = 0,1x³ - 3x² + 70x + 300 und ein Marktpreis von p = 250 GE/ME.
Berechne den Gewinnbereich und den maximalen Gewinn! c) Wie hoch ist der Preis anzusetzen, wenn bei 10 Mengeneinheiten ein Gewinn von 1000 Geldeinheiten erzielt werden soll?
d) Bei welcher Menge wird das Betriebsoptimum erreicht und wie hoch sind an dieser Stelle die Stückkosten?

k6) Die Gesamtkosten eines Betriebes lassen sich durch eine Funktion dritten Grades darstellen. Es ist bekannt, dass bei Stillstand der Produktion die Gesamtkosten 400 GE und die Grenzkosten 198 GE betragen. Die Kostenkehre liegt bei 2,5 ME und die Steigung beträgt dort 197,25.
Es kann ein Preis von 250 GE/ME erzielt werden.
a) Bestimme die Gesamtkostenfunktion.
b) Bestimme bei welchen Absatzmengen ein Gewinn erzielt werden kann.
c) Bestimme den maximalen Gewinn.

k7) Ein Produktionsbetrieb kann annähernd mit der quadratischen Kostenfunktion
K(x) = 0,1x² + 50x + 490
dargestellt werden. Der Verkaufspreis pro Mengeneinheit ist p = 100GE.
a) Berechne die Grenzen des Gewinnbereiches.
b) Wie hoch ist der maximale Gewinn?
c) Stelle die Kostenfunktion, die Erlösfunktion und die Gewinnfunktion in einem Koordinatensystem graphisch dar.

k8) In einem Produktionsbetrieb ergeben sich zu den angegebenen Produktionsmengen folgende Kosten:
            x           8           9          11         14          15
          K(x)        255        248,2        272,2        323        325

a) Gib mit Hilfe der quadratischen Regression die Kostenfunktion 2. Ordnung an.
b) Die Nachfragefunktion für dieses Produkt lautet: pN(x)= -3x + 75
Berechne den Gewinnbereich!
Bei welcher Menge wird das Gewinnmaximum erreicht und wie hoch ist der zugehörige Preis?
c) Stelle die Kosten- und Erlösfunktion grafisch dar und kennzeichne den Gewinnbereich.
Lösung: a) K(x) = 0,2x²+8x+160 b)Gewinnbereich: 2,75 < x < 18,18 ; Gewinnmaximum bei x = 10,45 p = 43,65

K9). Für eine Ware gelte die Angebotsfunktion p = 9 + sqr(16x + 4) und die die Nachfragefunktion p = 100 - 0,4 x
a) Vom Staat wird der Preis p = 60 GE/ME festgesetzt. Was für ein Überhang liegt vor und wie groß ist dieser?
b) Bestimme das Marktgleichgewicht sowie das Gesamtsteueraufkommen bei 15% Steuer!
c) Bestimme die feste Steuerrate r für maximales Gesamtsteueraufkommen!
d) Wie hoch müßte eine prozentuelle Subvention sein, damit der Preis auf p = 45 GE/ME gesenkt wird? Wie hoch ist dann die Gesamtsubvention?
e) Die Angebotsfunktion wird mit einer fixen Mengensteuer von r = 10 versteuert. Berechne das neue Marktgleichgewicht und die Gesamtsteuer.
f) Bestimme die Konsumenten- und die Produzentenrente, sowie die Gesamtrente.
g) Berechne den Wohlfahrtsverlust und die Steuerinzidenz, d. h. den Prozentanteil der Steuer, der vom Konsumenten zu tragen ist


Statistik

s1) An Schülern wurde Größe und Masse gemessen:
Größe[cm] 154 155 162 172 155 158 162 167 172 176 172 162 172 155 158 167 162 172 176 172
Masse[kg] 50 51 62 77 50 56 60 70 77 84 75 59 75 62 77 50 56 60 70 77
Berechne für die Größe den durchschnittlichen Wert (arithmetisches Mittel, Zentralwert), die Spannweite und die Standardabweichung und erstelle dazu ein Histogramm bzw. ein Boxplottdiagramm!
Wie gut korrelieren Masse und Größe?
Gib einen linearen Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen an!

s2) Um die Bedeutung der Erdölsubstitution zu erkennen, wurden Prognosen über die maximale ölproduktionskapazitäten erstellt

       Jahr         1980  1985   1990  1995   2000  2005   2010  2015   2020

     maximale
     Produktions-   3,4    3,6     4    3,7    3,8   3,8    3,5   3,3   3,2
     kapazität
     (in Gt)

a) Besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Jahreszahl und der Kapazität?
b) Bestimme mittels quadratischer Regression einen funktionalen Zusammenhang zwischen der maximalen ölproduktionskapazität und der Jahreszahl (auf 8 Dez. genau!).
c) In welchem Jahr wird voraussichtlich die größte ölproduktionskapazität erreicht?
d) Erstelle eine Kapazitätsprognose für 1987! Wann wird die Kapazität voraussichtlich unter 3 Gt fallen?
e) Erstelle ein Diagramm (Trendkurve) mit gleitendem Durchschnitt der Ordnung 4!

Kombinatorik

KO1) Auf wie viele Arten kann eine Person nacheinander 5 Verwandtenbesuche abstatten?

KO2) 10-jähriges Maturatreffen von 20 Personen:
a) Wieviele Begrüßungen (Händeschütteln) gibt es? [190]
b) Auf wie viele Arten können die Personen im Gasthaus auf 25 Sesseln Platz nehmen? [1,29.10²³]

KO3) Wie viele verschiedene vierstellige Bludenzer Kraftfahrzeugkennzeichen lassen sich bilden, wenn die erste Stelle eine Ziffer von 1 bis 9 darstellt und die folgenden drei Stellen beliebige Buchstaben sind?

KO4) Für die Meisterschaft soll aus einer Mannschaft von 10 Sportlern ein 6-köpfiger Kader gebildet werden. Wieviele Möglichkeiten der Auswahl gibt es
a) insgesamt? [210]
b) wenn sich drei Mannschaftsmitglieder fix qualifiziert haben und ein Sportler wegen Verletzung ausfällt?

KO5) Millionenquiz: Es sollen 4 Begriffe in die richtige Reigenfolge gebracht werden.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es? Wie hoch ist bei zufälliger Wahl die Wahrscheinlichkeit, die richtige Lösung zu erhalten?
b) Wie lautet die Antwort auf obige Fragen, wenn nur drei Lösungen in die richtige Reihenfolge gebracht werden müssen?

Wahrscheinlichkeitsrechnung

W1) Zwei Alarmgeräte werden unabhängig voneinander installiert. Die Anspruchswahrscheinlichkeit des ersten Geräts sei p(G1) = 0.9 und die des zweiten Geräts sei p(G2) = 0.95.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) sprechen beide zugleich an?
b) spricht mindestens eines an?
c) spricht höchstens eines an?
[85,5%; 99,5%; 14,5%]

W2) Ein normaler Würfel wird 10 mal geworfen:
i) Berechne die Verteilung der Zufallsvariable X(Anzahl der geworfenen "Einser") und stelle diese in einem Histogramm dar! Wie groß ist der Erwartungswert x und die Standardabweichung ? [1,67; 1,18]
ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein „Einser“ geworfen wird? [83,8%]
iii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei aber höchstens sechs „Einser“ geworfen werden? [0,155+0,054+0,013+0,002=22,4%]
Wie oft muß man würfeln, dass mit 98-prozentiger Wahrscheinlichkeit mindestens ein "Sechser" geworfen wird? [22mal]

W3) Martina macht pro 1000 Anschläge im Mittel 5 Tippfehler. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auf 500 Anschläge keinen Tippfehler macht?

W4) Problem des Chevalier de Mere: Welches der beiden Ereignisse ist beim viermaligen Würfeln wahrscheinlicher: es tritt mindestens einmal die Augenzahl "Sechs" oder es tritt kein mal "Sechs" auf?

W5) Beim letzten Maturaball wurde dem Käufer eines Loses versprochen: "Jedes vierte Los gewinnt!". Wie viele Lose musste jemand kaufen, um mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einen Gewinn zu erzielen?

W6) In einer Sendung von 20 Stück einer Ware sind 4 Stück beschädigt. Dieser Sendung werden nacheinander 4 Stück ent- nommen.
a) Berechne und zeichne die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallvariable H=Anzahl der nicht beschädigten Stücke wenn
i) das entnommene Stück nicht zurückgelegt wird.
ii) das entnommene Stück zurückgelegt wird.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Falle ii), dass mindestens ein Stück beschädigt ist?

W7) In einem Einzelhandelsbetrieb weiß man aus Erfahrung, dass die Menge des täglichen Bedarfs einer Frischware eine Zufallsvariable X ist die einer Normalverteilung mit dem Mittelwert µ = 245 und der Standardabweichung = 5,14 gehorcht.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bedarf eines Tages mindestens 238 und höchstens 250 ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer Verknappung bei einer Bestellmenge von 252 Stück, d.h., wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bedarf größer als 252 Stück beträgt?
c) Wie hoch muss die Bestellmenge mindestens sein, damit eine Verknappung höchstens 4% beträgt?